Корень квадратного уравнения с дискриминантом равным нулю

Квадратные уравнения — это одно из основных понятий в алгебре, и знание, как решать их, является неотъемлемым для применения в различных научных и технических областях. Одним из наиболее интересных случаев является ситуация, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. В таком случае возникает всего один корень, а решение представляется в особом виде.

Чтобы понять, как найти корень квадратного уравнения при нулевом дискриминанте, необходимо сначала разобраться в основных понятиях. Дискриминант — это выражение, которое находится под знаком корня в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Когда дискриминант равен нулю, это означает, что внутри корня находится ноль, а значит, корень квадратного уравнения также будет равен нулю.

Подробное руководство для нахождения корня квадратного уравнения можно представить в виде следующих шагов:

• Шаг 1: Запишите квадратное уравнение в виде общей формы: ax² + bx + c = 0.
• Шаг 2: Вычислите дискриминант по формуле: D = b² — 4ac.
• Шаг 3: Проверьте значение дискриминанта. Если дискриминант равен нулю, переходите к следующему шагу. Если дискриминант отличен от нуля, значит, квадратное уравнение имеет два корня, и данное руководство не применимо.
• Шаг 4: Найдите корень уравнения по формуле: x = -b/(2a).
• Шаг 5: Ответ представьте в виде «x = 0».

Теперь у вас есть подробное руководство, которое поможет вам найти корень квадратного уравнения при нулевом дискриминанте. Эта информация может быть полезна в решении различных математических и инженерных задач, а также в повседневной жизни. Постоянная практика по решению квадратных уравнений позволит вам улучшить свои навыки и стать еще более уверенным в алгебре.

Что такое корень квадратного уравнения?

ax^2 + bx + c = 0,

где a, b и c — коэффициенты, а x — переменная.

Корень квадратного уравнения можно найти, решив это уравнение. Для этого можно использовать различные методы, такие как формула дискриминанта или методы факторизации и графический метод.

Корень квадратного уравнения может быть действительным либо комплексным числом. Если дискриминант (D) квадратного уравнения больше нуля (D > 0), то уравнение имеет два различных действительных корня. Если дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один действительный корень. Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то уравнение имеет два комплексных корня.

Важно учитывать, что квадратное уравнение может иметь ноль, один или два корня. Корень квадратного уравнения может быть положительным или отрицательным числом, в зависимости от значения переменных a, b и c.

Подготовка

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет один равный корень, который можно найти по формуле x = -b/2a.

Для решения квадратного уравнения потребуется знание основных математических операций — сложение, вычитание, умножение и деление. Также полезно знать, как рациональные и иррациональные числа воздействуют на квадратное уравнение.

Кроме того, необходимо умение использовать квадратные корни и основные свойства алгебры, такие как коммутативность и ассоциативность, в процессе решения уравнения.

Важно помнить, что подготовка к решению квадратного уравнения с дискриминантом равным нулю требует понимания основных концепций алгебры и умение применять их на практике. Поэтому перед приступлением к решению рекомендуется освежить свои знания в этой области и при необходимости проконсультироваться с преподавателем или использовать специализированную литературу и руководства.

Что такое дискриминант?

В зависимости от значений дискриминанта, квадратное уравнение может иметь различное количество решений:

• Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
• Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень (или два совпадающих).
• Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней, но имеет два комплексных корня.

Знание значения дискриминанта помогает анализировать уравнение и определять его решения. Кроме того, дискриминант является важным понятием в дальнейшем изучении квадратных уравнений и их применениях.

Как найти значение дискриминанта?

Для нахождения значения дискриминанта применяется следующая формула:

• Для уравнения вида ax² + bx + c = 0 дискриминант равен D = b² — 4ac.

Уравнение может иметь три возможных случая в зависимости от значения дискриминанта:

• Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень.
• Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

Зная значение дискриминанта, можно дальше решать уравнение и найти его корни. Если дискриминант положителен, то квадратное уравнение можно решить с использованием формулы:

• Для уравнения ax² + bx + c = 0, корни найдутся по формулам x₁ = (-b + √D) / 2a и x₂ = (-b — √D) / 2a.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень — это будет точка пересечения параболы графика функции с осью x.

Если же дискриминант отрицателен, то корни квадратного уравнения будут комплексными числами. Их можно найти с использованием мнимых единиц и формулы:

• Для уравнения ax² + bx + c = 0, корни будут выражены как x₁ = (-b + i√|D|) / 2a и x₂ = (-b — i√|D|) / 2a.

Нахождение корня квадратного уравнения при дискриминанте равном нулю

Пусть у нас есть квадратное уравнение вида:

ax² + bx + c = 0

где a, b и c — это коэффициенты уравнения. Чтобы найти корень при дискриминанте равном нулю, следует выполнить следующие шаги:

1. Вычислить дискриминант по формуле: D = b² — 4ac.
2. Проверить, что дискриминант равен нулю: D = 0.
3. Применить формулу для нахождения корня: x = -b / (2a).

Найденное значение x будет являться единственным корнем квадратного уравнения при дискриминанте, равном нулю.

Пример:

Рассмотрим уравнение 2x² — 4x + 2 = 0.

Вычисляем дискриминант: D = (-4)² — 4 * 2 * 2 = 16 — 16 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень.

Применяем формулу для нахождения корня: x = -(-4) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1.

Полученный корень x = 1 является ответом на данное квадратное уравнение при дискриминанте, равном нулю.

Шаг 1: Запись квадратного уравнения

Общий вид квадратного уравнения:

Уравнение имеет формулу со следующими символами:

• a — коэффициент при переменной x в степени 2
• b — коэффициент при переменной x
• c — свободный член

Выбрав конкретные значения для этих коэффициентов, требуется записать уравнение с использованием этих значений.

Например, если у нас есть следующее уравнение:

В данном случае:

• a = 2
• b = 4
• c = 2

Таким образом, первый шаг выполнен успешно, и квадратное уравнение записано с заданными коэффициентами.

Шаг 2: Расчет дискриминанта

Для нахождения дискриминанта квадратного уравнения следует использовать следующую формулу:

Дискриминант (D) = b^2 — 4ac

Где:

• b — коэффициент при переменной x;
• a — коэффициент при переменной x^2;
• c — свободный член уравнения.

После подстановки значений коэффициентов в формулу и выполнения соответствующих вычислений можно получить значение дискриминанта.

Если дискриминант равен нулю (D = 0), это означает, что уравнение имеет один корень, который является вещественным и кратным, то есть уравнение имеет два одинаковых корня.

Расчет дискриминанта позволяет определить количество и тип корней квадратного уравнения и является важным этапом в решении задач данной темы.

Шаг 3: Проверка условия дискриминанта

Имеется 3 возможных варианта ситуаций с дискриминантом:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень, который называется вещественным корнем, так как является числом.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней, так как их не существует.

Проверка условия дискриминанта позволяет определить, какие действия следует предпринять дальше при решении уравнения.

Шаг 4: Нахождение корня

Чтобы найти корень квадратного уравнения, необходимо использовать формулу:

x = -b / (2a)

Где:

• x — значение корня уравнения
• b — коэффициент при линейном члене уравнения
• a — коэффициент при квадратном члене уравнения

Подставив значения коэффициентов в данную формулу, можно найти корень квадратного уравнения. В случае, когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет только один корень.

Например, для уравнения 3x^2 + 6x + 3 = 0, коэффициент при квадратном члене равен 3, а коэффициент при линейном члене равен 6. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

x = -6 / (2*3) = -6 / 6 = -1

Таким образом, корень данного квадратного уравнения равен -1.

Важно помнить, что при нахождении корня уравнения нужно учитывать знаки коэффициентов и приводить результат к правильной форме.

Шаг 5: Проверка корней

После получения корней квадратного уравнения с дискриминантом, равным нулю, важно проверить их на корректность.

1. Подставьте каждый корень обратно в исходное уравнение и убедитесь, что получается тождество.
2. Если при подстановке получается идентичность, значит, вы нашли правильный корень.
3. Если при подстановке получается неравенство, значит, корень был найден неверно или была допущена ошибка при решении уравнения.
4. Если при подстановке получается ноль, значит, исходное уравнение верно, и ваши корни являются его решениями.

Необходимо проверить оба корня, так как уравнение может иметь два различных решения. Если оба корня проходят проверку, то вы можете быть уверены в правильности найденных решений.

Примеры решения

Для наглядности и понимания процесса решения уравнения с корнем при дискриминанте равном нулю, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1:

Рассмотрим уравнение:

x^2 — 6x + 9 = 0

Дискриминант этого уравнения равен нулю:

D = (-6)^2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень.

Найдем значение корня из уравнения:

x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3

Ответ: x = 3

Пример 2:

Рассмотрим уравнение:

4x^2 + 8x + 4 = 0

Дискриминант этого уравнения равен нулю:

D = 8^2 — 4 * 4 * 4 = 64 — 64 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень.

Найдем значение корня из уравнения:

x = -8 / (2 * 4) = -8 / 8 = -1

Ответ: x = -1

Пример 3:

Рассмотрим уравнение:

9x^2 — 12x + 4 = 0

Дискриминант этого уравнения равен нулю:

D = (-12)^2 — 4 * 9 * 4 = 144 — 144 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень.

Найдем значение корня из уравнения:

x = -(-12) / (2 * 9) = 12 / 18 = 2/3

Ответ: x = 2/3

Таким образом, при решении уравнения с корнем при дискриминанте равном нулю, необходимо рассчитать дискриминант и, при его равенстве нулю, найти значение корня уравнения.

Если дискриминант не равен нулю, то у уравнения нет решений или оно имеет два различных корня.